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函数恒成立端点效应(导数端点效应教学视频)

张世龙2021年12月07日 17:34天道酬勤930

《高中数学复习笔记》中导数9的专题。一类特殊值域问题的快速计算法子题目写了一年半了,这个子题目既没加也没删。介绍了一种计算参数取值范围的快速计算方法。为什么这种方法可以这样用,没有给出分析,因为这种方法是bug,可以用在小问题上(因为看不到你的流程)。在大题中,即使答案是正确的,也会扣除相当多的分数,但这种方法可以用来检查大题中答案的正确性。就在前几天,刚刚有人问这个知识点,今天我们就来聊一聊这个话题——端点效应。

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首先举个例子,如果一个带有参数A的函数f(x)在区间[-1,3]满足0来求参数A的取值范围,我们通常的做法是要么分类讨论,要么把参数分开,就是根据条件找到参数的准确取值范围。但是,如果f(x)足够复杂,无论是分类讨论还是参数的分离都将面临复杂的计算,所以我们在这个缩小的范围内或者证明这个范围是符合条件的范围或者从这个范围中找出符合条件的范围,这种改变未知参数范围的方法要通过试算法才能知道, 然后用已知的范围作为条件推导出结论就是用端点效应,但是这种方法并不严谨,范围的大小取决于你选择的数值,而且可能会有范围过大或者省略的情况,但是在题目过于复杂的情况下,这种方法是可行的,只要

以下是端点效应的三种情况:

想法:如果功能在整个范围内满足需求,那么它也必须满足端点的需求。这种情况下,对应函数在两个端点(或者只有一个端点,另一个端点为无穷大)的函数值仍然有参数,所以参数的取值范围可以结合两个不相等的关系求解,但求解的范围不一定是满足题目要求的范围。最后,有必要验证已知的范围,或者从该范围再次缩小范围以满足要求。

注意:为什么要选择端点?你能在区间内选择两个数字吗?是的,但是没有必要。这种情况是因为端点值有参数,也就是if后面的东西.都是已知的,所以我们只需要安排端点值来满足条件,而不需要关心中间的数字。

注意上面的问题,函数的1和e处的函数值都包含参数,所以分别带端点值满足不等式,求解参数A的范围(一个值也是范围)。那么,证明当a=e,f(x)满足给定范围内的双向不等式就足够了。注意,如果这个方法是必要的,就要证明其充分性和必要性。这种方法的优点是,如果直接计算参数范围,需要多少。但如果参数是已知范围或某个值,就变成了求函数最大值的最简单问题,不需要讨论,简单直接,但也需要做好被扣除的准备。

注意,在上述过程中,如果把参数a-1作为已知条件,如何证明不等式在这个范围内有效?可以按照传统的求最大值的方法取导数或二阶导数。因为你知道参数的范围,一阶导数或二阶导数的正负一般是可以判断的,但没有直接用标度法去掉参数那么直接。至于证明不等式的缩放方法,我之前已经讲了很多,缩放不是万能的,有可能缩放结果会变成f(x)F(x)-1。如果真的发生了,那一定会的。

注意,上述过程得到的参数范围有两端,与前两个问题不同。这个范围不一定符合要求。当a1范围内明显a0符合要求时,有同学提出,虽然0a1中有不符合要求的点,但不能因为0a1中有不符合要求的点,就直接排除整个范围。这可能会缩小正确的范围,但应该注意的是,问题是不变的。也就是说,在任何区间都是真的,参数的取值范围影响着满足要求区间的函数的变化,所以参数的取值范围也要符合任意性原则,所以只要不满足要求的参数的值出现在区间中,整个区间都不会满足要求。

分析:端点效应应用函数极限原理。

,在高等数学中有邻域的概念,若不等关系在区间上恒成立,则在端点处也要成立,如果在区间[m,n]上满足f(m)=0,在根据函数趋势可知在范围[m,m k]范围内必定满足f(x)单调递增,当k足够小时,这种在某个范围内导数≥0恒成立既可以看成在m点处f'(m)≥0恒成立,同理若f(n)=0,则在区间[n-k,n]必定满足导函数≤0,当k足够小时,即可当成f'(n)≤0,注意这种情况的使用的前提条件。

上述将未知参数范围已知之后如何证明不等式成立,用的是基础的求导求最值,有人问这么做在高考中能给分吗?接下来看2016年四川理科高考中那个超级经典的题目:

以上的答案是高考中的标准答案,可知,答案中其实用到的也是端点效应,先求出a的范围,再证明此范围下符合不等式要求,但是四川卷变为全国卷之后,全国卷尚未出现此类问题,所以今后给不给分不好确定。

解析:当端点处的函数值和导数值均为零时,以左端点为例,f(m)=0,要保证不等式成立,则需f'(m)≥0,这个在上面说过,但是此处f'(m)=0,则意味着当x=m时,函数f'(x)取得最小值0且存在区间[m,m k]使得f'(x)单调递增,因此需要满足f''(x)≥0,右端点处原理类似。

注意上题中当参数范围已知后如何证明不等式成立时用到了放缩法

总结:端点效应仅仅可以作为理解内容,帮助你确定常规方法答案的正确性,在选填压轴题目中如果符合要求时可以在很短时间内求出答案,最后奉劝广大师生:别走邪路,好好学习此类问题的常规做法,有些看上去高大上的做法就像七伤拳一样,伤敌不成反伤己。

声明:转自我的图书馆henry20180412

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