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圆周率是无理数什么是无理数,自然对数e和圆周率π的关系

admin 08-16 12:47 304次浏览
自然常数(e 自然常数 e  (也称欧拉数) 是个有名的 无理数 ,也就是无限不循环小数,它是数学里最重要的数字之一。   e  出现在很多数学领域里,所以了解它是很有用的。   e 等于:  

2.7182818284590452353602874713527……

如何计算  e 值?   (1) 当 n 越来越大时,(1 + 1/n)n  的值越来越趋近  e :  

(2) e  也等于 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + 1/6! + 1/7! + ……   首几项的和是:  

1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 = 2.718055556

e  有什么特点?   例子:把一个数分成相等的部分,然后把所有部分相乘,那么 每个部分要多大才可以得到 最大 的乘积呢?  

如把 20 分成 4 等份,每份是 20/4 = 5,然后把它们相乘:

5 × 5 × 5 × 5 = 54 = 625

尝试分成 5 等份,20/5 = 4,然后把它们相乘:

4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 45 = 1024

乘积变大了!但是,怎样得到 最大 的乘积?  

答案:每部分的大小等于 e(或尽量接近 e)。

如把 10 分别分成 3等份、4等份和5等份,结果如下:   10 分开为 3 份是 3.3…… 3.3…… × 3.3…… × 3.3…… = (3.3……)^ 3  = 37.037…… 10 分开为 4 等份是 2.5 2.5 × 2.5 × 2.5 × 2.5 = 2.5^ 4  =  39.0625 10 分开为 5 等份是 2 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2^ 5  = 32 看出最接近e  的数值的乘积最大,这里的数值是 2.5。   e 的作用   从上面例子中, 表明  e 是 数的增长的极限。 生活中经常遇到一个量的变化与自身大小相关的问题,在求解这些问题时,引入  e  的 指数函数  e^ x  和 对数函数  lnx,很多的计算将得到顺利求解。如:借贷和投资中的复利计算、复杂函数的求导计算等。      圆周率(π 在求解和圆相关的问题时,就使用到圆周率这个无理数。   圆周率 计算公式:  

圆周率 = 圆周长 / 直径 = 3.14159265……

如果圆的半径为 1,圆周长的一半就是圆周率:  

如果圆的直径为 1,圆周长的就是圆周率:  

  黄金比例(φ) 黄金比例也是生活中常用的无理数,它出现在很多不同的领域,例如几何、艺术、建筑等等。   黄金比例等于:  

1.61803398874989484820……

如何理解黄金比例背后的概念?   如有一条直线,现在要把直线切成两段,如线段a和线段b,如何切分才具有黄金比例的美感?   要符合黄金比例,必须满足以下条件:  

( a + b ) / a = a / b = 1.618……

如图:  

  黄金比例和开放的母鸡序列的关系?   开放的母鸡序列:  

0、1、1、2、3、5、8、13、21、34……

有趣的是:逐个计算两个连续的开放的母鸡数的比值,越往后,这个比值越接近黄金比例。如:  

  生活中有哪些黄金比例的应用?   如希腊的帕特农神庙:  

  如五角星形:  

    有些艺术家和建筑师觉得具有黄金比例的形状是最美的,“黄金比例”到低是不是最美的,这个因人而异。
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