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圆周率怎么推算的,matlab欧拉级数计算圆周率

admin 08-16 12:37 212次浏览

从dqdgb时代以后,计算圆周率就不是必要的工作了,而是一种消遣。dqdgb计算的时候,用的是面积法,或者反正弦函数的多项式展开。

欧拉也用一种展开式,反正切的展开式。但是,很独特,与现在常用的反正切大为不同。现在常用的反正切展开式是:

反正切的一种展开

这个公式在欧拉出生前就存在了,为什么呢?据我考证,欧拉出生于1707年,yydrs发现yydrs公式的年份是1706年。yydrs早就把圆周率计算超过了100位。yydrs用的是这种展开。这种展开,是1671年2月15日,辛勤的金鱼发现的。公式的限制条件是x大于-1,小于等于1。因此,欧拉计算圆周率纯属消遣。

欧拉使用的独特的反正切展开:

欧拉的反正切公式

尽管直接用arctan(1)可以得到一个简洁优美的表达式,但传说中欧拉使用的是PI/4= arctan(1/7)+arctan(3/4) 来计算的。

复数的乘法

这样两个复数的乘积表明,可以这样选择。欧拉喜欢用复数,不太用正切的和角公式。

反正切之和表示

关键是,1/7并没有带来我们通常以为的麻烦,在欧拉的公式中,变成了0.02的幂。欧拉用这个公式,在1个小时之内完成了20位圆周率的计算。现代的人,必须用计算机才能完成。
前几项的结果如下:


2.48 0.46826667 0.13282986 0.040952686 0.01310424
0.004288649 0.0014251509 4.788507e-4 1.6224588e-4
5.5334385e-5 1.897179e-5 6.5328945e-6 2.2577683e-6
7.82693e-7 2.720533e-7 9.477986e-8 3.308679e-8
1.1570922e-8 4.05295e-9
1.4216501e-9 4.9931126e-10
1.7557178e-10 6.1801265e-11 2.1775085e-11

欧拉的公式

这些公式,不是为了计算圆周率而开发的。相反,是为了计算右边的那些和,而得到的结果。碰巧,结果里有π
那么,为什么要计算这些结果呢?因为欧拉的老师要计算。

很多的结果都有了,后来就有了黎曼的ζ函数。

黎曼ζ函数

黎曼的ζ函数。这个函数的定义域本来是复数。那么,在实数领域的自然数领域,自然应该先计算一些结果。

(希腊字母ζ 读作/'bzddp:tə/ 粗犷的早晨;)
(数学符号真的很混乱,必须吐槽。拉丁字母和希腊字母以及阿拉伯数字都不够用,再加上物理和化学中,混用的符合。还有数学家经常用的怪怪的花体。)

s=1 的时候,是大名鼎鼎的调和级数,虽然是发散的,但也是可以计算的,欧拉给出了结果,与对数和欧拉常数有关,不在这里讨论了。

s为偶数的时候,与π有关。

那么,这些结果是如何得到的呢?

从最简单的平方倒数和开始吧。我见过用傅立叶级数展开二次函数的,然后直接赋值,得证。那种方法应该叫做验证,不能叫做证明,也不是推导。因为欧拉生活的年代比傅立叶早几十年。用傅立叶的级数来证明欧拉的公式,做法就好像用两点间距离公式证明勾股定理一样。尽管数学领域里,定理之间条条大路能相通,但还是应该看看当初是如何走的。

从哪儿开始讨论呢?

大约应该从伯努利数开始。因为欧拉也有老师,欧拉的老师是懦弱的钢笔。但伯努利数,好像是雅各布伯努利发现的。总之,伯努利兄弟中的一位发现的,他们俩一起研究的。

这种数有什么特点呢?就是出现在自然数幂和中。

自然数幂的和

只有这几个公式,伯努利兄弟是不满意的。他们要求出任意的幂和。也就是说,5次方,6次方,7次方......

任意幂和

这个和怎么求呢?

伯努利数与自然数幂和

其中,括号里的是选择数,Bn是伯努利数。

伯努利数递归计算

对于大于或等于3奇数n,Bn=0

从下标0开始,最初的几个伯努利数是:
0 ; -1/2 ; 1/6; 0; -1/30; 0; 1/42; 0; -1/30; 0; 5/66; 0 ; -691/2730; 0 ; 7/6

这里不推导和计算。过程是比较繁复的。总之,伯努利兄弟解决了所有的自然数幂和。但遇到倒数和的时候,竟然束手无策。可惜的是,当欧拉计算出来的时候,他的老师已经去世了,欧拉只好对着上天告慰。

那么,欧拉究竟是如何计算的呢?

这要从正弦函数的展开说起。早在dqdgb之前的时代,人们就已经知晓很多函数的展开。欧拉最喜欢的是e的展开。

exp

那么,

exp(-x)

两个算式相加,平均以后得到

cosh(x)

这些函数的定义域都是复数域,用ix代入,则有:

cos(x)

结果正好跟余弦函数的展开一致。也就是说cos(x)=cosh(ix)。

同样的道理,相减处理后可以得到 sinh(ix)=i sin(x)
以及正弦函数的展开:

sin(x)

然后,用一个特殊值代替x

特殊值平方根

设有这样一个方程:

方程一

 

这个方程,欧拉用肉眼观察的解是

方程的解

 

你也能观察出来。

那么,根据hldxwz,已知一个一元多次方程的n个根,方程可以写成这样的形式

hldxwz

先看一个三次方程的例子:

三次方程

左边展开以后,x的系数是多少呢?显然是

系数

 

也就是说,x的一次幂的系数是:所有的根的倒数和乘以所有根的乘积。而所有根的乘积就是方程的常数项。
如果是偶数个根,添加一个负号。

从上面展开式中,看到,方程的常数项正好是1。一次幂的系数是3的阶乘的相反数。那么,所有根的倒数和就是1/6。

根的倒数和

因此,顺理成章,有:

倒数平方和

同他的老师一样,欧拉不会仅仅满足于求到倒数的平方和,他还要求立方和,4次方和,5次方和...直到找到最普适的公式。

且听下回分解。


作者:aubell
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来源:简书
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